如何找到其文件名？

您已经拥有了。也许您想找到绝对文件位置？您可以ServletContext#getRealPath()为此使用。

String relativeWARPath = "/META-INF/MANIFEST.MF";
String absoluteDiskPath = getServletContext().getRealPath(relativeWARPath);
File file = new File(absoluteDiskPath);
// ...

或者，如果您想InputStream直接获得它，请使用ServletContext#getResourceAsStream()。

InputStream input = getServletContext().getResourceAsStream("/META-INF/MANIFEST.MF");
// ...