在计算 x! = n 反运算的问题中，要求在 O(1) 时间内找到 x 使得 x! 等于 n。实际情况中，由于阶乘的增长速度极其迅速，没有现成的公式能直接在 O(1) 时间内精确反解 x，因此通常需要借助一些逼近公式和数值方法来达到近似结果。

斯特林公式是其中一种常用的逼近公式。斯特林公式给出了阶乘函数的一个近似值，可以表示为：
[ n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n ]

反斯特林公式是从上述公式中推导出来的，用于近似计算 x 使得 x! 接近某个给定的数值 n。我们可以通过对数和一些近似公式来反向计算 x：

[ x \approx \frac{\ln(n) + \ln(2 \pi x)}{x \ln(x) - x} ]

简化步骤可以得到近似公式：

[ x \approx W\left(\frac{n}{e}\right) ]

其中 (W(z)) 是 Lambert W 函数，它是一个解决方程 (z = W(z) e^{W(z)}) 的函数。实际计算时，Lambert W 函数通常需要一些数值方法来实现，但可以在常数时间内进行计算（依赖于使用的数值方法库）。

下面给出一个 Python 实现示例，使用 Lambert W 函数计算近似结果：

import math
from scipy.special import lambertw

def inverse_factorial(n):
    # 计算近似解 x
    x = lambertw(n / math.e).real
    # 由于 Lambert W 函数返回的是复数，我们只取实部
    return int(round(x))

# 示例
n = 120  # 5!
x = inverse_factorial(n)
print(f"The value of x such that x! = {n} is approximately: {x}")

在这个代码中，我们使用了 scipy.special 库中的 lambertw 函数来计算 Lambert W 函数的值，并使用 real 获取其实部。然后对结果进行四舍五入以得到整数近似值。

需要注意的是，由于阶乘的增长速度非常快，任何数值逼近方法都有可能在某些极端情况下失去精度。对于实际应用中的特定问题，可以根据需要选择适当的方法来求解。