在你的问题中，你希望计算以下形式的加权和：

[
K = \sum_{i,j} A[i][j] \cdot (\mathbf{X}_i - \mathbf{X}_j)(\mathbf{X}_i - \mathbf{X}_j)^T
]

以下是利用 NumPy 提供的高效广播和 einsum 运算来解决此问题的方法。

问题分析

给定：
- ( \mathbf{X} ) 是一个形状为 ((N, D)) 的矩阵，表示 (N) 个样本的 (D) 维特征。
- ( A ) 是一个 (N \times N) 的加权矩阵，表示样本对的权重。

目标是高效地计算加权的成对行差外积的和。

高效解决方案

步骤 1：计算成对差

首先需要计算成对差值 ( \mathbf{X}_i - \mathbf{X}_j )。这可以通过 NumPy 的广播机制完成：

import numpy as np

# 示例数据
N, D = 100, 10  # N 个数据点，D 维特征
X = np.random.rand(N, D)  # 形状 (N, D)
A = np.random.rand(N, N)  # 形状 (N, N)

# 计算成对差
X_diff = X[:, np.newaxis, :] - X[np.newaxis, :, :]  # 形状 (N, N, D)

• X[:, np.newaxis, :] 添加一个新轴，形状变为 ((N, 1, D))。
• X[np.newaxis, :, :] 添加一个新轴，形状变为 ((1, N, D))。
• 两者相减后，得到一个 ((N, N, D)) 的张量，其中每个条目 ((i, j)) 是 ( \mathbf{X}_i - \mathbf{X}_j )。

步骤 2：计算加权外积

对每对样本 ( (i, j) )，需要计算 ( (\mathbf{X}_i - \mathbf{X}_j)(\mathbf{X}_i - \mathbf{X}_j)^T )，并乘以权重 ( A[i][j] )。这可以通过 np.einsum 高效完成：

# 计算加权外积的加权和
K = np.einsum('ij,ijk,ijl->kl', A, X_diff, X_diff)

• einsum 中的 'ij,ijk,ijl->kl' 表示：
• ij 代表加权矩阵 ( A[i][j] ) 的权重。
• ijk 和 ijl 分别代表行差张量的两个维度，计算外积。
• kl 表示最终结果是一个形状为 ((D, D)) 的矩阵 ( K )。

为什么此方法高效？

1. 广播机制： 避免了显式的双重循环，直接在数组上操作。
2. einsum 优化： 将加权计算、外积运算和求和合并为一个高效的操作。
3. 内存效率： 虽然 X_diff 占用一定内存，但计算过程避免了大量临时变量。

完整代码示例

以下是完整实现：

import numpy as np

# 示例数据
N, D = 100, 10  # N 个数据点，D 维特征
X = np.random.rand(N, D)  # 形状 (N, D)
A = np.random.rand(N, N)  # 形状 (N, N)

# 计算成对差
X_diff = X[:, np.newaxis, :] - X[np.newaxis, :, :]  # 形状 (N, N, D)

# 计算加权外积的加权和
K = np.einsum('ij,ijk,ijl->kl', A, X_diff, X_diff)  # 形状 (D, D)

print("加权散点矩阵的形状:", K.shape)

复杂度分析

1. 时间复杂度： ( O(N^2 D) )，与双重循环的方法时间复杂度相同，但在 NumPy 的底层实现中优化了操作。
2. 空间复杂度： ( O(N^2 D) )，主要来自于 X_diff 的存储。

如果 ( N ) 很大，内存可能会成为瓶颈，可以考虑将数据分块处理（例如通过分块计算 X_diff 或使用稀疏矩阵）。

总结

使用 np.einsum 配合广播机制是计算这种加权和的最优雅和高效的方式。它避免了 Python 的显式循环，充分利用了 NumPy 的矢量化能力，适合处理中等规模的 ( N ) 和 ( D )。