关于Manhatan距离的最酷的事情是，距离本身包含两个独立的分量：x和y坐标上的距离。因此，您可以解决两个更简单的任务，并合并它们的结果以获得所需的结果。

我要说的任务是：给定直线上的点。在直线上找到使所有点的绝对距离之和最小的点。如果有很多找到它们的全部（顺便说一句，它们总是变成一个容易证明的单一部分）。该段由集合的（可能是两个）点中位数确定。中位数是指在左边和右边具有相等数量点的点。如果点的数量为奇数，则不存在这样的点，您可以选择两个方向上的差为1的点以形成线段。

在这里，我添加了此简单任务的解决方案示例：

如果线上的点是这样的：

-4 | | | 0 | 2 3 4
             ^

解决方案只是一点，事实就是如此2。

如果线上的点是这样的：

-4 | | | 0 | 2 3
         ^---^

整个段[0，2]是问题的解决方案。

您可以针对x和分别解决此任务y，然后合并结果以获得最小距离点的矩形。

例

现在来介绍初始任务的解决方案示例。

假设您要查找距集合的最小Manhatan距离的点 (0, 6), (1, 3), (3, 5), (3, 3), (4, 7), (2, 4)

您形成了两个简单的任务：

对于x：

0 1 2 3 3 4
    ^-^

这是解决方案的问题[2, 3]（请注意，这里有重复的point 3，我可能不是最直观的方式表示）。

对于y：

3 3 4 5 6 7
    ^-^

这里的解决方案是细分[4, 5]。

最后，我们得到初始任务的解决方案是带有公式的矩形：

 2 <= x <= 3; 4 <= y <= 5

复杂

由于许多人对此帖子表现出兴趣，因此我决定对其进行进一步的改进。

让我们谈谈复杂性。

任务的复杂性实际上与解决较简单的任务的复杂度相同（因为如前所述，解决方案实际上包括解决两个较简单的任务）。许多人会通过排序然后选择中位数来解决它。但是，这将导致O(nlog n)复杂性，即n输入集中的点数在哪里。

如果使用更好的算法来找到第k个元素，则可以改进此方法（C ++
STL中的实现示例）。该算法基本上遵循与qsort相同的方法。运行时间为O(n)。即使在两个中点的情况下，它仍将保持线性（需要运行同一算法两次），因此该算法的总复杂度变为O(n)。显然，只要输入本身具有上述复杂性，就无法更快地完成任务。