通过平方来求负指数的幂

一尘不染

通过平方来求负指数的幂

algorithm

我不确定平方的乘方是否照顾负指数。我实现了以下仅适用于正数的代码。

    #include <stdio.h>
    int powe(int x, int exp)
    {
         if (x == 0)
            return 1;
         if (x == 1)
            return x;
         if (x&1)
                return powe(x*x, exp/2);
         else
                return x*powe(x*x, (exp-1)/2);       
    }

查看 https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring并没有帮助，因为以下代码似乎不正确。

    Function exp-by-squaring(x, n ) 
      if n < 0  then return exp-by-squaring(1 / x, - n );
      else if n = 0  then return  1;
      else if n = 1  then return  x ; 
      else if n is even  then return exp-by-squaring(x * x,  n / 2);
      else if n is odd  then return x * exp-by-squaring(x * x, (n - 1) / 2).

编辑：感谢amit此解决方案适用于负数和正数：

    float powe(float x, int exp)
    {
            if (exp < 0)
                    return powe(1/x, -exp);
            if (exp == 0)
                    return 1;
            if (exp == 1)
                    return x;
            if (((int)exp)%2==0)
                    return powe(x*x, exp/2);
            else
                    return x*powe(x*x, (exp-1)/2);
    }

对于 分数指数， 我们可以执行以下操作（Spektre方法）：

假设您有x ^ 0.5，则可以通过此方法轻松计算平方根：从0开始到x / 2，并继续检查x ^ 2是否等于二分查找法中的结果。
因此，如果您有x ^（1/3），则必须将其替换if mid*mid <= n为x ，if mid*mid*mid <= n然后将获得x的立方根.x ^（1/4），x ^（1/5）都适用相同的内容，依此类推。在x ^（2/5）的情况下，我们可以做（x ^（1/5））^ 2并再次减少找到x的第5个根的问题。
但是，到此时，您将意识到该方法仅在您可以将根转换为1 / x格式的情况下才有效。那么，如果我们无法转换，我们会陷入困境吗？不，我们仍然可以按照意愿继续前进。
将浮点转换为固定点，然后计算pow（a，b）。假设数字为0.6，将其转换为（24，8）浮点数，将得出Floor（0.6 * 1 << 8）= 153（10011001）。如您所知153代表小数部分，因此（10011001）在不动点上代表（2 ^ -1，0，0，2 ^ -3，2 ^ -4，0，0，2 ^ 7）。通过计算x在固定点的2、3、4和7根来计算pow（a，0.6）。计算后，我们再次需要除以1 << 8得出浮点数的结果。

在接受的答案中可以找到上述方法的代码。

阅读 279

2020-07-28

共1个答案

一尘不染

整数示例适用于32位int算术，DWORD为32位unsigned int

漂浮的pow(x,y)=x^y

通常这样评估：

* Math.Pow（等等）如何实际工作

因此可以计算分数指数：pow(x,y) = exp2(y*log2(x))。这也可以在固定点上完成：

* 定点大号战俘

整数pow(a,b)=a^b其中a>=0 , b>=0

通过平方很容易（您已经拥有）：

        DWORD powuu(DWORD a,DWORD b)
        {   
        int i,bits=32;
        DWORD d=1;
        for (i=0;i<bits;i++)
            {
            d*=d;
            if (DWORD(b&0x80000000)) d*=a;
            b<<=1;
            }
        return d;
        }

整数pow(a,b)=a^b其中b>=0

只需添加几个ifs来处理负数a

        int powiu(int a,DWORD b)
     {
     int sig=0,c;
     if ((a<0)&&(DWORD(b&1)) { sig=1; a=-a; } // negative output only if a<0 and b is odd
     c=powuu(a,b); if (sig) c=-c;
     return c;
     }

整数pow(a,b)=a^b

因此，如果b<0这样就意味着1/powiu(a,-b)您可以看到结果根本不是整数，因此可以忽略这种情况或返回浮点值或添加一个乘数变量（以便您可以PI使用纯Integer算术对方程进行求值）。这是浮动结果：

        float powfii(int a,int b)
     {
     if (b<0) return 1.0/float(powiu(a,-b));
     else return powiu(a,b);
     }

整数pow(a,b)=a^b其中b小数

您可以执行以下操作a^(1/bb)，其中bb整数是。实际上，这是扎根的，因此您可以使用二进制搜索来评估：

* `a^(1/2)` 是 `square root(a)`
* `a^(1/bb)` 是 `bb_root(a)`

因此，请c从 MSB 到 LSB 进行二进制搜索，pow(c,bb)<=a然后评估是否保留bit原样。这是sqrt示例：

        int bits(DWORD p) // count how many bits is p
        {
        DWORD m=0x80000000; int b=32;
        for (;m;m>>=1,b--)
         if (p>=m) break;
        return b;
        }

    DWORD sqrt(const DWORD &x)
        {
        DWORD m,a;
        m=(bits(x)>>1);
        if (m) m=1<<m; else m=1;
        for (a=0;m;m>>=1) { a|=m; if (a*a>x) a^=m; }
        return a;
        }

因此，现在只需更改if (a*a>x)with if (pow(a,bb)>x)，其中bb=1/b…
b是您要寻找的小数指数，并且bb是整数。也是m结果的位数，因此更改m=(bits(x)>>1);为m=(bits(x)/bb);

[edit1]定点sqrt示例

//---------------------------------------------------------------------------
const int _fx32_fract=16;       // fractional bits count
const int _fx32_one  =1<<_fx32_fract;
DWORD fx32_mul(const DWORD &x,const DWORD &y)   // unsigned fixed point mul
    {
    DWORD a=x,b=y;              // asm has access only to local variables
    asm {                       // compute (a*b)>>_fx32_fract
        mov eax,a               // eax=a
        mov ebx,b               // ebx=b
        mul eax,ebx             // (edx,eax)=eax*ebx
        mov ebx,_fx32_one
        div ebx                 // eax=(edx,eax)>>_fx32_fract
        mov a,eax;
        }
    return a;
    }
DWORD fx32_sqrt(const DWORD &x) // unsigned fixed point sqrt
    {
    DWORD m,a;
    if (!x) return 0;
    m=bits(x);                  // integer bits
    if (m>_fx32_fract) m-=_fx32_fract; else m=0;
    m>>=1;                      // sqrt integer result is half of x integer bits
    m=_fx32_one<<m;             // MSB of result mask
    for (a=0;m;m>>=1)           // test bits from MSB to 0
        {
        a|=m;                   // bit set
        if (fx32_mul(a,a)>x)    // if result is too big
         a^=m;                  // bit clear
        }
    return a;
    }
//---------------------------------------------------------------------------

所以这是无符号的定点。高位16是整数，低位16是小数部分。

这是fp-> fx转换： DWORD(float(x)*float(_fx32_one))
这是fp <-fx转换： float(DWORD(x))/float(_fx32_one))
fx32_mul(x,y)是否x*y使用80386+ 32位体系结构的汇编程序（您可以将其重写为karatsuba或其他任何独立于平台的文件）
fx32_sqrt(x) 是 sqrt(x)

在固定点上，您应该知道乘法的小数位移位：(a<<16)*(b<<16)=(a*b<<32)您需要向后移>>16以获得结果(a*b<<16)。结果也可能溢出32位，因此我64在汇编中使用位结果。

[edit2] 32位带符号定点Pow C ++示例

将前面的所有步骤放在一起时，应具有以下内容：

//---------------------------------------------------------------------------
//--- 32bit signed fixed point format (2os complement)
//---------------------------------------------------------------------------
// |MSB              LSB|
// |integer|.|fractional|
//---------------------------------------------------------------------------
const int _fx32_bits=32;                                // all bits count
const int _fx32_fract_bits=16;                          // fractional bits count
const int _fx32_integ_bits=_fx32_bits-_fx32_fract_bits; // integer bits count
//---------------------------------------------------------------------------
const int _fx32_one       =1<<_fx32_fract_bits;         // constant=1.0 (fixed point)
const float _fx32_onef    =_fx32_one;                   // constant=1.0 (floating point)
const int _fx32_fract_mask=_fx32_one-1;                 // fractional bits mask
const int _fx32_integ_mask=0xFFFFFFFF-_fx32_fract_mask; // integer bits mask
const int _fx32_sMSB_mask =1<<(_fx32_bits-1);           // max signed bit mask
const int _fx32_uMSB_mask =1<<(_fx32_bits-2);           // max unsigned bit mask
//---------------------------------------------------------------------------
float fx32_get(int   x) { return float(x)/_fx32_onef; }
int   fx32_set(float x) { return int(float(x*_fx32_onef)); }
//---------------------------------------------------------------------------
int fx32_mul(const int &x,const int &y) // x*y
    {
    int a=x,b=y;                // asm has access only to local variables
    asm {                       // compute (a*b)>>_fx32_fract
        mov eax,a
        mov ebx,b
        mul eax,ebx             // (edx,eax)=a*b
        mov ebx,_fx32_one
        div ebx                 // eax=(a*b)>>_fx32_fract
        mov a,eax;
        }
    return a;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
int fx32_div(const int &x,const int &y) // x/y
    {
    int a=x,b=y;                // asm has access only to local variables
    asm {                       // compute (a*b)>>_fx32_fract
        mov eax,a
        mov ebx,_fx32_one
        mul eax,ebx             // (edx,eax)=a<<_fx32_fract
        mov ebx,b
        div ebx                 // eax=(a<<_fx32_fract)/b
        mov a,eax;
        }
    return a;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
int fx32_abs_sqrt(int x)            // |x|^(0.5)
    {
    int m,a;
    if (!x) return 0;
    if (x<0) x=-x;
    m=bits(x);                  // integer bits
    for (a=x,m=0;a;a>>=1,m++);  // count all bits
    m-=_fx32_fract_bits;        // compute result integer bits (half of x integer bits)
    if (m<0) m=0; m>>=1;
    m=_fx32_one<<m;             // MSB of result mask
    for (a=0;m;m>>=1)           // test bits from MSB to 0
        {
        a|=m;                   // bit set
        if (fx32_mul(a,a)>x)    // if result is too big
         a^=m;                  // bit clear
        }
    return a;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
int fx32_pow(int x,int y)       // x^y
    {
    // handle special cases
    if (!y) return _fx32_one;                           // x^0 = 1
    if (!x) return 0;                                   // 0^y = 0  if y!=0
    if (y==-_fx32_one) return fx32_div(_fx32_one,x);    // x^-1 = 1/x
    if (y==+_fx32_one) return x;                        // x^+1 = x
    int m,a,b,_y; int sx,sy;
    // handle the signs
    sx=0; if (x<0) { sx=1; x=-x; }
    sy=0; if (y<0) { sy=1; y=-y; }
    _y=y&_fx32_fract_mask;      // _y fractional part of exponent
     y=y&_fx32_integ_mask;      //  y integer part of exponent
    a=_fx32_one;                // ini result
    // powering by squaring x^y
    if (y)
        {
        for (m=_fx32_uMSB_mask;(m>_fx32_one)&&(m>y);m>>=1);     // find mask of highest bit of exponent
        for (;m>=_fx32_one;m>>=1)
            {
            a=fx32_mul(a,a);
            if (int(y&m)) a=fx32_mul(a,x);
            }
        }
    // powering by rooting x^_y
    if (_y)
        {
        for (b=x,m=_fx32_one>>1;m;m>>=1)                            // use only fractional part
            {
            b=fx32_abs_sqrt(b);
            if (int(_y&m)) a=fx32_mul(a,b);
            }
        }
    // handle signs
    if (sy) { if (a) a=fx32_div(_fx32_one,a); else a=0; /*Error*/ }     // underflow
    if (sx) { if (_y) a=0; /*Error*/ else if(int(y&_fx32_one)) a=-a; }  // negative number ^ non integer exponent, here could add test if 1/_y is integer instead
    return a;
    }
//---------------------------------------------------------------------------

我已经像这样测试过：

float a,b,c0,c1,d;
int x,y;
for (a=0.0,x=fx32_set(a);a<=10.0;a+=0.1,x=fx32_set(a))
 for (b=-2.5,y=fx32_set(b);b<=2.5;b+=0.1,y=fx32_set(b))
    {
    if (!x) continue; // math pow has problems with this
    if (!y) continue; // math pow has problems with this
    c0=pow(a,b);
    c1=fx32_get(fx32_pow(x,y));
    d=0.0;
    if (fabs(c1)<1e-3) d=c1-c0; else d=(c0/c1)-1.0;
    if (fabs(d)>0.1)
     d=d; // here add breakpoint to check inconsistencies with math pow
    }

a,b 是浮点数
x,y 是最接近的定点表示形式 a,b
c0 是数学战俘结果
c1 是fx32_pow结果
d 是差异

希望并没有忘记一些琐碎的事情，但是看起来它运作正常。不要忘记固定点的精度非常有限，因此结果会有所不同…

2020-07-28