凭经验估计大时间效率

一尘不染

凭经验估计大时间效率

algorithm

背景

我想通过基准评估库中某些方法的出色表现。我不需要精度-足以表明某些东西是O（1），O（logn），O（n），O（nlogn），O（n ^
2）或更糟糕的东西。由于big-oh表示上限，因此为O（log logn）估计O（logn）并不是问题。

现在，我正在考虑找到最适合每个big-oh数据的常数乘数k（但将所有结果都放在首位），然后选择最适合的big-oh。

问题

有比我想的更好的方法吗？如果是这样，它们是什么？
否则，谁能指出我的算法来估计k以获得最佳拟合，并比较每条曲线对数据的拟合程度？

注意事项和约束

鉴于到目前为止的评论，我需要澄清一些事情：

这需要自动化。我无法“看”数据并做出判断。
我将使用多种n尺寸对方法进行基准测试。对于每种大小n，我将使用一个经过验证的基准框架，该框架可提供可靠的统计结果。
实际上，我实际上预先知道将要测试的大多数方法。我的主要目的是为他们提供性能回归测试。
该代码将用Scala编写，并且可以使用任何免费的Java库。

例

这是我要衡量的一种示例。我有一个带有此签名的方法：

def apply(n: Int): A

给定一个n，它将返回序列的第n个元素。在给定现有实现的情况下，此方法可以具有O（1），O（logn）或O（n），并且进行较小的更改就可以使其误使用次优实现。或者，更容易地，可以得到其他
依赖于它的方法来使用次优版本。

阅读 247

2020-07-28

共1个答案

一尘不染

为了开始，您必须做几个假设。

n 与任何常数项相比，它都很大。
您可以有效地随机化输入数据
您可以以足够的密度进行采样，以很好地处理运行时的分布

特别地，难以与（1）一起实现（3）。因此，您可能会遇到指数级最坏情况的情况，但永远不会遇到最坏情况，因此认为您的算法比平均水平要好得多。

话虽如此，您只需要任何标准曲线拟合库即可。 Apache Commons
Math具有足够的能力。然后，您可以使用要测试的所有常用术语（例如，常数，log
n，n，n log n，n n，n n * n，e ^ n）创建一个函数，也可以记录数据并拟合指数，然后如果获得的指数不接近整数，则查看是否将log
n进行拟合是否更好。

（更详细地说，如果你适合C*x^a的C和a，或更容易log C + a log x，你可以得到的指数a;在全共术语一次刻录方案，你会得到的权重为每个术语，所以如果你有n*n + C*n*log(n)其中C大，您还将选择该词。）

您将需要适当地改变大小，以便可以区分不同的情况（如果要注意日志项，可能会比较困难），并且可以安全地使用比参数更多的大小（可能超出3倍）好的，只要您总共进行至少十几次跑步）。

编辑：这是Scala代码，可以为您完成所有这些操作。与其解释每个小片段，不如让我去调查。它使用C * x ^ a
fit实现上述方案，并返回（（a，C），（a的下限，a的上限））。从运行几次可以看到，边界是相当保守的。单位C是秒（a无单位），但是不要过多
地相信它，因为会产生一些循环开销（也有一些噪音）。

class TimeLord[A: ClassManifest,B: ClassManifest](setup: Int => A, static: Boolean = true)(run: A => B) {
  @annotation.tailrec final def exceed(time: Double, size: Int, step: Int => Int = _*2, first: Int = 1): (Int,Double) = {
    var i = 0
    val elapsed = 1e-9 * {
      if (static) {
        val a = setup(size)
        var b: B = null.asInstanceOf[B]
        val t0 = System.nanoTime
        var i = 0
        while (i < first) {
          b = run(a)
          i += 1
        }
        System.nanoTime - t0
      }
      else {
        val starts = if (static) { val a = setup(size); Array.fill(first)(a) } else Array.fill(first)(setup(size))
        val answers = new Array[B](first)
        val t0 = System.nanoTime
        var i = 0
        while (i < first) {
          answers(i) = run(starts(i))
          i += 1
        }
        System.nanoTime - t0
      }
    }
    if (time > elapsed) {
      val second = step(first)
      if (second <= first) throw new IllegalArgumentException("Iteration size increase failed: %d to %d".format(first,second))
      else exceed(time, size, step, second)
    }
    else (first, elapsed)
  }

  def multibench(smallest: Int, largest: Int, time: Double, n: Int, m: Int = 1) = {
    if (m < 1 || n < 1 || largest < smallest || (n>1 && largest==smallest)) throw new IllegalArgumentException("Poor choice of sizes")
    val frac = (largest.toDouble)/smallest
    (0 until n).map(x => (smallest*math.pow(frac,x/((n-1).toDouble))).toInt).map{ i => 
      val (k,dt) = exceed(time,i)
      if (m==1) i -> Array(dt/k) else {
        i -> ( (dt/k) +: (1 until m).map(_ => exceed(time,i,first=k)).map{ case (j,dt2) => dt2/j }.toArray )
      }
    }.foldLeft(Vector[(Int,Array[Double])]()){ (acc,x) =>
      if (acc.length==0 || acc.last._1 != x._1) acc :+ x
      else acc.dropRight(1) :+ (x._1, acc.last._2 ++ x._2)
    }
  }

  def alpha(data: Seq[(Int,Array[Double])]) = {
    // Use Theil-Sen estimator for calculation of straight-line fit for exponent
    // Assume timing relationship is t(n) = A*n^alpha
    val dat = data.map{ case (i,ad) => math.log(i) -> ad.map(x => math.log(i) -> math.log(x)) }
    val slopes = (for {
      i <- dat.indices
      j <- ((i+1) until dat.length)
      (pi,px) <- dat(i)._2
      (qi,qx) <- dat(j)._2
    } yield (qx - px)/(qi - pi)).sorted
    val mbest = slopes(slopes.length/2)
    val mp05 = slopes(slopes.length/20)
    val mp95 = slopes(slopes.length-(1+slopes.length/20))
    val intercepts = dat.flatMap{ case (i,a) => a.map{ case (li,lx) => lx - li*mbest } }.sorted
    val bbest = intercepts(intercepts.length/2)
    ((mbest,math.exp(bbest)),(mp05,mp95))
  }
}

请注意，假设使用了静态初始化数据，并且与您正在运行的任何数据相比，该multibench方法的运行时间大约为sqrt（2） n m * ，则该方法运行所需的时间。以下是一些示例，这些示例选择的参数需要大约15秒才能运行：

val tl1 = new TimeLord(x => List.range(0,x))(_.sum)  // Should be linear
// Try list sizes 100 to 10000, with each run taking at least 0.1s;
// use 10 different sizes and 10 repeats of each size
scala> tl1.alpha( tl1.multibench(100,10000,0.1,10,10) )
res0: ((Double, Double), (Double, Double)) = ((1.0075537890632216,7.061397125245351E-9),(0.8763463348353099,1.102663784225697))

val longList = List.range(0,100000)
val tl2 = new TimeLord(x=>x)(longList.apply)    // Again, should be linear
scala> tl2.alpha( tl2.multibench(100,10000,0.1,10,10) )
res1: ((Double, Double), (Double, Double)) = ((1.4534378213477026,1.1325696181862922E-10),(0.969955396265306,1.8294175293676322))

// 1.45?!  That's not linear.  Maybe the short ones are cached?
scala> tl2.alpha( tl2.multibench(9000,90000,0.1,100,1) )
res2: ((Double, Double), (Double, Double)) = ((0.9973235607566956,1.9214696731124573E-9),(0.9486294398193154,1.0365312207345019))

// Let's try some sorting
val tl3 = new TimeLord(x=>Vector.fill(x)(util.Random.nextInt))(_.sorted)
scala> tl3.alpha( tl3.multibench(100,10000,0.1,10,10) )
res3: ((Double, Double), (Double, Double)) = ((1.1713142886974603,3.882658025586512E-8),(1.0521099621639414,1.3392622111121666))
// Note the log(n) term comes out as a fractional power
// (which will decrease as the sizes increase)

// Maybe sort some arrays?
// This may take longer to run because we have to recreate the (mutable) array each time
val tl4 = new TimeLord(x=>Array.fill(x)(util.Random.nextInt), false)(java.util.Arrays.sort)
scala> tl4.alpha( tl4.multibench(100,10000,0.1,10,10) )
res4: ((Double, Double), (Double, Double)) = ((1.1216172965292541,2.2206198821180513E-8),(1.0929414090177318,1.1543697719880128))

// Let's time something slow
def kube(n: Int) = (for (i <- 1 to n; j <- 1 to n; k <- 1 to n) yield 1).sum
val tl5 = new TimeLord(x=>x)(kube)
scala> tl5.alpha( tl5.multibench(10,100,0.1,10,10) )
res5: ((Double, Double), (Double, Double)) = ((2.8456382116915484,1.0433534274508799E-7),(2.6416659356198617,2.999094292838751))
// Okay, we're a little short of 3; there's constant overhead on the small sizes

无论如何，对于指定的用例（正在检查以确保顺序没有变化），这可能就足够了，因为在设置测试时您可以使用一些值以确保它们提供了合理的信息。人们还可以创建探索稳定性的启发式方法，但这可能是过大了。

（顺便说一句，这里没有明确的热身步骤； Theil-
Sen估算器的强大拟合功能应该使其对于合理的大型基准没有必要。这也是为什么我不使用任何其他基准测试框架的原因；它失去的任何统计信息测试的力量。）

再次编辑：如果将alpha方法替换为以下内容：

  // We'll need this math
  @inline private[this] def sq(x: Double) = x*x
  final private[this] val inv_log_of_2 = 1/math.log(2)
  @inline private[this] def log2(x: Double) = math.log(x)*inv_log_of_2
  import math.{log,exp,pow}

  // All the info you need to calculate a y value, e.g. y = x*m+b
  case class Yp(x: Double, m: Double, b: Double) {}

  // Estimators for data order
  //   fx = transformation to apply to x-data before linear fitting
  //   fy = transformation to apply to y-data before linear fitting
  //   model = given x, slope, and intercept, calculate predicted y
  case class Estimator(fx: Double => Double, invfx: Double=> Double, fy: (Double,Double) => Double, model: Yp => Double) {}
  // C*n^alpha
  val alpha = Estimator(log, exp, (x,y) => log(y), p => p.b*pow(p.x,p.m))
  // C*log(n)*n^alpha
  val logalpha = Estimator(log, exp, (x,y) =>log(y/log2(x)), p => p.b*log2(p.x)*pow(p.x,p.m))

  // Use Theil-Sen estimator for calculation of straight-line fit
  case class Fit(slope: Double, const: Double, bounds: (Double,Double), fracrms: Double) {}
  def theilsen(data: Seq[(Int,Array[Double])], est: Estimator = alpha) = {
    // Use Theil-Sen estimator for calculation of straight-line fit for exponent
    // Assume timing relationship is t(n) = A*n^alpha
    val dat = data.map{ case (i,ad) => ad.map(x => est.fx(i) -> est.fy(i,x)) }
    val slopes = (for {
      i <- dat.indices
      j <- ((i+1) until dat.length)
      (pi,px) <- dat(i)
      (qi,qx) <- dat(j)
    } yield (qx - px)/(qi - pi)).sorted
    val mbest = slopes(slopes.length/2)
    val mp05 = slopes(slopes.length/20)
    val mp95 = slopes(slopes.length-(1+slopes.length/20))
    val intercepts = dat.flatMap{ _.map{ case (li,lx) => lx - li*mbest } }.sorted
    val bbest = est.invfx(intercepts(intercepts.length/2))
    val fracrms = math.sqrt(data.map{ case (x,ys) => ys.map(y => sq(1 - y/est.model(Yp(x,mbest,bbest)))).sum }.sum / data.map(_._2.length).sum)
    Fit(mbest, bbest, (mp05,mp95), fracrms)
  }

然后，当还有一个对数项时，您可以得到指数的估计值–存在误差估计值，以选择对数项是否是正确的处理方法，但这取决于您进行调用（即，我假设您将首先对此进行监督并阅读得出的数字）：

val tl3 = new TimeLord(x=>Vector.fill(x)(util.Random.nextInt))(_.sorted)
val timings = tl3.multibench(100,10000,0.1,10,10)

// Regular n^alpha fit
scala> tl3.theilsen( timings )
res20: tl3.Fit = Fit(1.1811648421030059,3.353753446942075E-8,(1.1100382697696545,1.3204652930525234),0.05927994882343982)

// log(n)*n^alpha fit--note first value is closer to an integer
//   and last value (error) is smaller
scala> tl3.theilsen( timings, tl3.logalpha )
res21: tl3.Fit = Fit(1.0369167329732445,9.211366397621766E-9,(0.9722967182484441,1.129869067913768),0.04026308919615681)

（编辑：修正了RMS计算，因此它实际上是平均值，并证明您只需要进行一次计时，然后可以尝试两种拟合。）

2020-07-28